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【KM算法及其具体过程】 （1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W，则这一组点标是 可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W)，称为 可行边； （2）KM算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所有点的标号之和，故这个匹配是最佳的）。一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且， 与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边； （3）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用vst搞一下），以进行后面的修改； （4）增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则对于图中的任意一条边(i, j, W)（i为X方点，j为Y方点）： <1>i和j都在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则现在仍是，原来不是则现在仍不是）； <2>i在增广轨中而j不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而现在可能是； <3>j在增广轨中而i不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i)，此时i就会被遍历到），现在仍不是； <4>i和j都不在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。 这样，在进行了这一步修改操作后，图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少？显然，整个点标不能失去可行性，也就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取所有第<2>类边的(lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性，另一方面， 经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。 （5）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止； 下面分析整个算法的时间复杂度：每次修改后，图中至少会增加一条可行边，故最多增广M次、修改M次就可以找到仅由可行边组成的完全匹配（除非图中不存在完全匹配，这个可以通过预处理得到），故整个算法的时间复杂度为O(M * (N + 一次修改点标的时间))。而一次修改点标的时间取决于计算d值的时间，如果暴力枚举计算，这一步的时间为O(M)，优化：可以对每个Y方点设立一个slack值，表示在DFS增广过程中，所有搜到的与该Y方点关联的边的(lx+ly-W)的最小值（这样的边的X方点必然在增广轨中）。每次DFS增广前，将所有Y方点的slack值设为+∞，若增广失败，则取 所有不在增广轨中的Y方点的slack值的最小值为d值。这样一次修改点标的时间降为O(N)，总时间复杂度降为O(NM)。 需要注意的一点是，在增广过程中需要记下每个X、Y方点是否被遍历到，即S[i]、T[j]。因此，在每次增广前（不是对每个X方点增广前）就要将所有S和T值清空。 【代码】 [cpp] const int MAXV = 205; //X or Y点集大小 const int oo = 0x3fffffff; struct MaximumMatchingOfWeightedBipartiteGraph{ int w[MAXV][MAXV]; //权值 int sv, tv; //Perfect Matching, sv should equal to tv bool S[MAXV], T[MAXV]; int lx[MAXV], ly[MAXV]; //X、Y点集可行顶标 int left[MAXV]; int slack[MAXV]; void init(int v){ sv = tv = v; MEM(w, 0); } void add_uedge(int u, int v, int _w){ w[u][v] = _w; } bool cross_path(int u){ S[u] = true; for (int v = 1; v <= tv; v ++){ if(T[v]) continue; int t = lx[u] + ly[v] - w[u][v]; if (t == 0){ T[v] = true; if (left[v] == 0 || cross_path(left[v])){ left[v] = u; return true; } } else{ slack[v] = min(slack[v], t); } } return false; } int solve(){ //Init MEM(lx, 0); MEM(ly, 0); MEM(left, 0); for (int i = 1; i <= sv; i ++) for (int j = 1; j <= tv; j ++) lx[i] = max(lx[i], w[i][j]); //Main for (int i = 1; i <= sv; i ++){ for (int j = 1; j <= tv; j ++) slack[j] = oo; while(1){ MEM(S, false); MEM(T, false); if (cross_path(i)){ break; } else{ int d = oo; for (int j = 1; j <= tv; j ++) if (!T[j]) d = min(d, slack[j]); for (int j = 1; j <= sv; j ++) if (S[j]) lx[j] -= d; for (int j = 1; j <= tv; j ++){ if (T[j]) ly[j] += d; else slack[j] -= d; //匈牙利树中T集点ly不变,S集点lx减小,更新slack值 } } } } int res = 0; for(int i = 1; i <= sv; i ++) res += lx[i]; for(int i = 1; i <= tv; i ++) res += ly[i]; return res; } }km; [/cpp]